前言 

12月份P4考試剛結束，就收到考生的反饋，這次第一道必答題出的是債券相關的內容。這部分內容是屬于P4 Part B的內容，但相比Part B其他常考的知識點，比如NPV，APV而言，這部分的知識點可能是很多學生比較薄弱的內容。正如有的考生反映：“開考二十分鐘，我看到我們考場絕大部分人長嘆一口氣，翻過第一題”，“做第一題的時候就覺得選錯考季了……”。

這部分內容其實在2017年6月的考試中，就以第二題選答題的形式考核過了。怎么會這么快在12月的考試中又出現(xiàn)這一部分內容，而且是以必答題的形式進行考核？Yvette老師表示這一點都不意外。正如在復習串講中所說的，雖然這部分內容在6月份考過，考官之前就表示過考生總體表現(xiàn)得不理想，所以再考查這部分內容的可能性非常大。一般考官發(fā)現(xiàn)考生哪個知識點薄弱，就會找機會虐一虐考生（一陣涼風吹過……）。這道考題也在復習串講中詳細講解過，據(jù)有的P4考生爆料，相似度很高。對這方面知識還掌握不牢固的P4考生們，建議回播：

https://m.qlchat.com/topic/2000000382984205.htm?preview=Y&intoPreview=Y&topicId=2000000382984205

另外，希望通過這篇文章，讓大家從頭到尾，完整的梳理一遍這部分內容的知識點。

 介紹 

債券及其變體，如貸款票據(jù)、債券和貸款股票，是政府和企業(yè)作為融資的手段而發(fā)行的借據(jù)。通常也被稱為固定收益或固定利率證券，以區(qū)別于股票，因為債券通常(但并不總是)定期為投資者(即債券持有者)提供已知的回報。這些回報作為債券的利息是固定支付的，不像股票的股息是可變的。大多數(shù)公司債券在規(guī)定期限后可贖回。因此，常規(guī)債券（也叫香草債券）定期向投資者支付利息，并支付到期時贖回債券的本金。

這篇文章主要討論的是關于債券的估值方法，以及債券價值或價格，到期收益率和即期收益率曲線三者之間的關系。這是屬于P4考綱中B3a和B3e部分的內容。

Bond value or price債券價值或價格

Example 1

有一個債券，面值為$100，每年的息票利率為5%，可以在4年內贖回。這個債券的風險等級所對應的預期收益率是4%。問一個投資者今天要花多少錢購買這個債券？

與任何資產評估一樣，投資者最愿意支付的應該是未來的現(xiàn)金流，按預期收益率折現(xiàn)之后所得到的現(xiàn)值。因此，債券的價值可以確定如下:

所以，該債券的價值/價格（現(xiàn)值的總額）= $103.62

如果預期收益率為6%，那么使用相同的計算方法，可以得出債券的價格將是$96.53（$5/1.061+$5/1.062+$5/1.063+$105/1.064）。當預期收益率等于息票利率5%的時候，債券的價格將等于$100的票面價值。

因此，債券的收益率與其價格或價值之間存在反比關系。收益率越高，債券的價格越低，反之亦然。然而，應該注意的是，這種關系不是線性的，而是凸向原點的（如下圖）。

前面提到的常規(guī)債券簡單的年息支付的例子，是比較簡單的一種債券。除了常規(guī)債券之外，作為P4考試要求的一部分，考生還需要了解并能夠處理更復雜的債券，比如：債券的息票支付比一年一次更頻繁；可轉換債券和帶有權證的債券（包含期權特征）；更復雜的支付形式，比如分期償還或年金償還方式。

Yield to maturity (YTM)/ Gross Redemption Yield (GRY) 到期收益率

如果提供債券的當前價格，連同息票和到期日的信息，那么就可以計算出債券的到期收益率。

Example 2

一個債券息票利率是7%，在5年內可按$100贖回，目前的交易價格為$106.62。求這個債券的收益率。

假設收益率為r，由于目前債券的價格是$106.6，也就是：

將等式左邊移到等式右邊，得出：

可以把它看成求某個特定的r，使得NPV=0，也就是可以通過內部收益率的方法來計算得出r，因為當前價格高于100美元，r必須低于7%。

當r=5%時，

($7 x 4.329 + $100 x 0.784) - $106.62 = ($30.30+$78.40) - $106.62 = $2.08

(4.329是5%，5年對應的年金系數(shù)；0.784是5%第5年對應的折現(xiàn)系數(shù))

當r=6%時，

($7 x 4.212 + $100 x 0.747) - $106.62 = ($29.48 + 74.70) - $106.62= -$2.44

(4.212是6%，5年對應的年金系數(shù)；0.747是6%第5年對應的折現(xiàn)系數(shù))

因此，5.46%是這個債券的到期收益率YTM。YTM是使得債券未來所有現(xiàn)金流（息票和贖回金額）的現(xiàn)值之和等于當前債券價格的收益率。這是債券投資者期望從債券中得到的平均年利率。債券的YTM通常按照債券的收盤價格得到，并在一些財經(jīng)媒體澤稷布。比如，財經(jīng)媒體經(jīng)常公布的收益率就是投標收益率。投標收益率是當前投標價格(債券可以購買的價格)的YTM。

Term structure of interest rates and the yield curve利率期限結構和收益率曲線

到期收益率是根據(jù)當前的市場價格，債券的期限和息票金額的期限和頻率計算出來的。然而，如果公司債券第一次發(fā)行，其價格和息票的支付需要根據(jù)所預期的收益率來確定。預期的收益率是基于利率期限結構得到的，這個是在確定債券價格之前需要考慮的問題。

即使同一風險等級的債券，不同的到期日的收益率通常是不相同的。事實上，很明顯，市場對不同到期日的證券，有不同的收益率期望。這被稱為利率期限結構，由即期收益率曲線或收益率曲線來表示。

例如，公司可能會發(fā)現(xiàn)，如果想發(fā)行一年期債券，它可能需要支付3%的利息。如果它想發(fā)行兩年期債券，市場可能要求年利率為3.5%，而對于三年債券，年收益率可能是4.2%。因此，對于一年期，公司需要支付3%的利息；如果是兩年期，則需要支付每年3.5%的利息；而如果是三年期，則需要支付每年4.2%的利息。在這種情況下，利率期限結構是由向上傾斜的收益率曲線表示。

正常的預期是收益率曲線向上傾斜，因為期限較長的債券需要更高的利率作為風險的補償。注意，即便所考慮的債券可能屬于同一風險類別，但期限越長，越會增加不確定性。

然而，收益率曲線有可能會出現(xiàn)很多不同的形狀，這是正常的事情。因為它取決于市場對利率水平在未來可能發(fā)生變化的看法。主要有三個理論來解釋利率期限結構或收益率曲線：期望假說、流動性偏好假說和市場分割假說。這些理論已經(jīng)超出了本文的范圍（也就是P4的考試范圍），但有很多關于投資和財務管理的書中都詳細介紹了這些理論，有興趣的同學可以拓展閱讀。

Valuing bonds based on the yield curve以收益率曲線為基礎的債券估值

即期年收益率曲線通常由財經(jīng)新聞或中央銀行發(fā)行(例如，英格蘭銀行經(jīng)常在官網(wǎng)上公布英國政府債券收益率曲線)。即期收益率曲線可以用來估算債券的價格或價值。

假設某一風險級別的債券即期年收益率如下：

一年 3.5%

兩年 4.0%

三年 4.7%

四年 5.5%

一個四年到期的債券對應的現(xiàn)金流如下：

年數(shù) 1 2 3 4

支付 $5 $5 $5 $105

我們可以把它看成是四個單獨的債券，現(xiàn)金流如下：

可以看成每年的支付都是在某一特定年份的單一支付，就像零息債券一樣?，F(xiàn)值可以通過對每個現(xiàn)金流按收益率曲線的相關利率折現(xiàn)來確定，如下:

這個現(xiàn)金流的加總也就是這個債券可以發(fā)行的價格，$98.57。

通過跟Example 2同樣的方法可以算出這個債券的到期收益率為5.41%。

以上計算說明了一些要點：

首先，5.41%的收益率低于5.5%，是因為債券的一些回報現(xiàn)金流出現(xiàn)在較早的年份，收益率曲線中較早年份的利率較低，但由于最大比例的現(xiàn)金流是在第4年，所以收益率還是比較接近于5.5%。其次，到期收益率是利率期限結構的加權平均數(shù)。第三，到期收益率是在市場上計算或觀察到債券價格之后計算的，但理論上應該是利率期限結構決定了債券價格或價值。

從算數(shù)上來說：

其中，r1，r2等指的是從收益率曲線中得到的即期利率，n代表的是息票支付的時間期數(shù)。

在這篇文章中，我們假設息票是每年支付的，但息票在實際中的支付往往更加頻繁。這種情況下，需要減少息票支付，增加時間周期的頻率。

Estimating the yield curve估計收益率曲線

估算即期收益率曲線可以通過不同的方法，其中基于重復息票債券bootstrapping（自舉法）的過程是最容易理解的。下面的例子是這種方法的計算過程。

Example 4

假設政府有三種債券發(fā)行，面值為$100，分別為一年、兩年和三年到期。因為這些債券都是政府債券，我們假設它們是同一個風險等級。我們也假設每年都要支付息票。債券A在一年的時間內可贖回，息票利率為7%，交易價格為$103。債券B在兩年內可贖回，息票利率為6%，交易價格為$102。債券C可以在三年內贖回，息票利率為5%，交易價格為$98。

為了確定收益率曲線，我們對每個債券的現(xiàn)金流進行折現(xiàn)，以確定三年的即期年收益率，如下：

即期年收益率曲線確定匯總如下：

其實還有其他估算即期年收益率曲線的方法，比如使用多重回歸方法和觀察零息債券的即期利率，但這些方法超出了P4考綱的范圍。

如上面所述，財經(jīng)新聞和中央銀行通常會根據(jù)政府發(fā)行的債券發(fā)布估算的即期收益率曲線。對于單個公司債券的收益率曲線，則可以通過增加相關利差來估算。例如，下表提供了零售行業(yè)的利差(以基點的形式)。

Example 5

Mason Retail Co. 擁有AA的信用評級，根據(jù)政府債券收益率曲線和上面的價差表，它單個公司的收益率曲線可以估算為：

這些收益率是是購買了Mason Retail Co. 發(fā)行的債券的投資者的收益率，因此Mason Retail Co. 將用這些利率作為折現(xiàn)率來估算發(fā)行新債券時的價格或價值。而Mason Retail Co. 現(xiàn)有債券的市場價格將反映其單個公司的收益率曲線。

 總結 

本文討論了債券價格、收益率曲線和到期收益率之間的關系。舉例演算了債券是如何被估值的，以及收益率曲線是如何使用相同風險等級，但到期日不同的債券來確定的。最后舉例演算了單個公司收益率曲線的估算方法。希望可以幫助大家掌握這部分內容。

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