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03月

澤稷網(wǎng)校CFA一級(jí)數(shù)量必考點(diǎn)精講：假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

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導(dǎo)讀：CFA一級(jí)數(shù)量分析在考試中占比為12%，是很重要的科目，也是其它很多課程的基礎(chǔ)。根據(jù)對(duì)歷年CFA考試重要考點(diǎn)難點(diǎn)和最新考試大綱的分析研究，CFA一級(jí)考試中對(duì)于數(shù)量的重難點(diǎn)考察集中于以下知識(shí)點(diǎn)：

常見(jiàn)的概率分布

抽樣與估計(jì)

假設(shè)檢驗(yàn)

貨幣的時(shí)間價(jià)值

……

昨天澤稷網(wǎng)校金融研究院已經(jīng)為大家講解了常見(jiàn)的概率分布重難點(diǎn)、抽樣與估計(jì)，今天繼續(xù)奉上純干貨文，CFA一級(jí)數(shù)量必考知識(shí)點(diǎn)精講：假設(shè)檢驗(yàn)，大家可配套【CFA一級(jí)數(shù)量重難點(diǎn)直播】學(xué)習(xí)！節(jié)省70%的自學(xué)時(shí)間，輕松掌握數(shù)量必考點(diǎn)！

假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理

假設(shè)檢驗(yàn)(Hypothesis Testing)是推斷統(tǒng)計(jì)的最后一步，是依據(jù)一定的假設(shè)條件由樣本推斷總體的一種方法。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是小概率反證法思想，小概率思想認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上不可能發(fā)生，在這個(gè)方法下，我們首先對(duì)總體作出一個(gè)假設(shè)，這個(gè)假設(shè)大概率會(huì)成立，如果在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果和原假設(shè)相背離，也就是小概率事件竟然發(fā)生了，那我們就有理由懷疑原假設(shè)的真實(shí)性，從而拒絕這一假設(shè)。

假設(shè)檢驗(yàn)的步驟

1、提出假設(shè)

假設(shè)檢驗(yàn)的第一步是提出假設(shè)，提出的假設(shè)包括兩個(gè)：

原假設(shè)（null hypothesis），一般用符號(hào)表示；

備擇假設(shè)（alternative hypothesis），一般用符號(hào)表示。

原假設(shè)一般是關(guān)于總體參數(shù)的一個(gè)陳述，它是需要被檢驗(yàn)的假設(shè)，也是我們希望拒絕的假設(shè)。

備擇假設(shè)是指在原假設(shè)被拒絕后可供選擇的假設(shè)，我們通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)可以在原假設(shè)和備擇假設(shè)兩者之中接受一個(gè)。當(dāng)我們有足夠證據(jù)拒絕原假設(shè)時(shí)，備擇假設(shè)可以成立。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，對(duì)于直接證明一個(gè)假設(shè)結(jié)論是正確的這件事情是很難做到的。我們通常的做法是：首先證明一個(gè)假設(shè)是不成立的；因此，當(dāng)證明了原假設(shè)不成立時(shí)，充當(dāng)其對(duì)立面的備擇假設(shè)就認(rèn)為是成立的。因?yàn)樵僭O(shè)是我們希望推翻的結(jié)論，所以備擇假設(shè)就是我們希望得到的結(jié)論。

當(dāng)假設(shè)檢驗(yàn)只涉及一個(gè)總體參數(shù)的檢驗(yàn)時(shí)，原假設(shè)和備擇假設(shè)的形式有以下三種：

在這種形式下，可能大于，也可能小于，稱為雙邊備擇假設(shè)，這里需要用到的假設(shè)檢驗(yàn)是雙邊假設(shè)檢驗(yàn)或雙尾檢驗(yàn)（two-sided hypothesis test or two-tailed hypothesis test）。

有些時(shí)候，我們只關(guān)心總體均值是否大于某一個(gè)數(shù)，例如，為檢驗(yàn)?zāi)尘W(wǎng)站經(jīng)過(guò)改版后點(diǎn)擊量是否比以前多，那么我們可以通過(guò)對(duì)比改版前和改版后的日均點(diǎn)擊量來(lái)判斷改版的效果，這時(shí)，所考慮的總體均值應(yīng)該越大越好，如果我們能判斷某網(wǎng)站改版后的日均點(diǎn)擊量超過(guò)以往的日均點(diǎn)擊量，那就可以證明改版是有效果的。這種形式的假設(shè)檢驗(yàn)稱為右邊檢驗(yàn)。

當(dāng)然，在某些時(shí)候，我們也會(huì)關(guān)心總體均值是否小于某一個(gè)數(shù)，這種情況下的假設(shè)檢驗(yàn)稱為左邊檢驗(yàn)。右邊檢驗(yàn)和左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單邊檢驗(yàn)或者單尾檢驗(yàn)（one-sided hypothesis test or one-tailed hypothesis test）。

2、確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其概率分布

在提出假設(shè)后，我們就要確定合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（test statistic）。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是一個(gè)隨機(jī)變量，服從一定的概率分布，它是基于樣本以及總體特征計(jì)算出來(lái)的數(shù)值，它是我們決定是否拒絕原假設(shè)的基礎(chǔ)。（檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量通常服從四種分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（z分布）、t分布、卡方分布以及F分布）。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的公式如下：

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量=（樣本統(tǒng)計(jì)量-總體參數(shù)的假設(shè)值）/樣本統(tǒng)計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)誤差

（注：此公式僅適用于z分布和t分布。）

當(dāng)已知總體標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量=

當(dāng)未知總體標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量=

3、確定顯著性水平及臨界值

當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出來(lái)后，我們可以采取兩種措施：1）拒絕原假設(shè)；2）不拒絕原假設(shè)。我們具體采取哪種措施是基于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與某一個(gè)特定的值的對(duì)比結(jié)果，而這一個(gè)特定值取決于給定的顯著性水平，它代表了拒絕正確的原假設(shè)的概率，在概率分布圖中，顯著性水平反映了拒絕域的面積，例如，表示有5%的概率拒絕正確的原假設(shè)。最常見(jiàn)的顯著性水平有三個(gè)：0.10、0.05和0.01，顯著性水平越小，拒絕正確的原假設(shè)的概率越?。ǚ稿e(cuò)的概率減?。?，我們就越有信心拒絕原假設(shè)。此外，我們把（）稱為置信度，它可以理解為對(duì)一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果的把握程度。

前面說(shuō)了，當(dāng)我們要決定是否拒絕原假設(shè)時(shí)，我們要用計(jì)算出來(lái)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與某一個(gè)值進(jìn)行對(duì)比，這個(gè)值就稱為臨界值（critical value）。在這里應(yīng)該注意的是，臨界值是在給定的顯著性水平和一定的概率分布下通過(guò)查找相應(yīng)的概率分布表確定的，而不是通過(guò)計(jì)算得到的。例如，在正態(tài)分布雙尾檢驗(yàn)中，如果顯著性水平，那么臨界值就是±1.96，這里的±1.96就是通過(guò)查表所得。

4、決策法則

決策法則（decision rule）是指接受或者拒絕原假設(shè)的法則。當(dāng)我們確定了假設(shè)檢驗(yàn)是雙尾檢驗(yàn)還是單尾檢驗(yàn)，確定了顯著性水平，確定了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從的概率分布，確定了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以及所對(duì)應(yīng)的臨界值時(shí)，我們就可以確定決策法則：如果計(jì)算出來(lái)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值大于臨界值的絕對(duì)值，我們就拒絕原假設(shè)；如果計(jì)算出來(lái)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值小于臨界值的絕對(duì)值，我們就不能拒絕原假設(shè)。